Préparation au calcul

Prérequis

Contenu

• Le sens et l'utilisation correcte du signe égal \(=\)
• Les flèches d'implication (\(\implies\), \(\iff\)) vs. le signe égal
• Travailler verticalement pour montrer la progression logique
• Notation ensembliste (\(x \in \mathbb{R}\)) et notation par intervalles
• Valeurs exactes vs. approximations décimales

Prérequis

Contenu

• Formules de distance et de milieu
• Pente : \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\)
• Équations de droites : forme point-pente \(y - y_1 = m(x - x_1)\) vs. forme pente-ordonnée à l'origine
• Relation entre droites parallèles et perpendiculaires
• Équations des droites sécantes

Prérequis

Contenu

• Révision de BEDMAS : parenthèses, exposants, division/multiplication, addition/soustraction
• La barre de fraction comme symbole de groupement : \(\frac{x+1}{x-2}\) signifie \((x+1)\div(x-2)\), et non \(x + \frac{1}{x} - 2\)
• Groupements imbriqués : parenthèses à l'intérieur de crochets, travailler de l'intérieur vers l'extérieur
• Liaison des exposants : \(-x^2 \neq (-x)^2\) et \(2x^3 \neq (2x)^3\)
• Distribuer ou non : quand le signe moins s'applique à un seul terme ou à toute une expression
• Lecture sans ambiguïté d'expressions rationnelles complexes : \(\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}\) vs. \(\frac{1}{x+h-\frac{1}{x}}\)

Prérequis

Contenu

• Exposants entiers et rationnels
• Règles du produit, du quotient et de la puissance
• Conversion entre formes radicale et exponentielle
• Rationalisation du numérateur et du dénominateur (conjugués)

Prérequis

Contenu

• Plus grand facteur commun (PGFC)
• Factorisation par groupement
• Différence de carrés : \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)
• Factorisation des trinômes du second degré (méthode produit-somme)
• Théorème du facteur, division longue et division synthétique
• Factorisation d'exposants fractionnaires/négatifs (ex. \(x^{-1/2} + x^{1/2}\))

Prérequis

Contenu

• Identification des restrictions du domaine (dénominateur \(\neq 0\))
• Simplification par factorisation des numérateurs et dénominateurs
• Multiplication et division d'expressions rationnelles
• Addition et soustraction d'expressions rationnelles : construire un dénominateur commun pour des expressions algébriques (pas seulement numériques) — trouver le PPCD, réécrire chaque fraction, puis combiner soigneusement les numérateurs
• Simplification des fractions complexes (fractions dans des fractions)

Prérequis

Contenu

• Définition d'une fonction et test de la droite verticale
• Évaluation de fonctions : \(f(a)\), \(f(x+h)\)
• Opérations sur les fonctions : \((f+g)(x)\), \((fg)(x)\)
• Composition de fonctions : \((f \circ g)(x) = f(g(x))\)
• Décomposition de fonctions composées : identifier ce qui est « à l'intérieur » et ce qui est « à l'extérieur » dans des expressions comme \(\sqrt{x^2+1}\) ou \(\sin(3x^2)\)

Prérequis

Contenu

• Restrictions algébriques du domaine : dénominateurs (\(\neq 0\)), racines paires (\(\geq 0\)), arguments logarithmiques (\(> 0\))
• Combinaison de plusieurs restrictions (ex. une fonction avec à la fois une racine et un dénominateur)
• Expression du domaine en notation d'intervalles et d'inégalités
• Trouver l'inverse : \(f^{-1}(x)\) en échangeant \(x\) et \(y\) et en résolvant ; la propriété fondamentale \(f(f^{-1}(x)) = x\)
• Domaine de \(f\) vs. image de \(f^{-1}\)

Prérequis

Contenu

• Tracer de mémoire : forme, domaine, image, points clés et comportement des 7 fonctions de base : \(x^2, x^3, \sqrt{x}, \frac{1}{x}, |x|, e^x, \ln x\)
• Caractéristiques clés de chaque graphe de base : intersections, asymptotes (le cas échéant), comportement à l'infini, symétrie (paire/impaire)

Prérequis

Contenu

• Définition et notation des fonctions par morceaux
• Évaluation des fonctions par morceaux à des valeurs précises et aux points de raccordement
• Tracé des fonctions par morceaux (cercles ouverts vs. fermés aux frontières)
• Valeur absolue comme définition par morceaux : \(|x| = x\) si \(x \geq 0\), et \(-x\) si \(x < 0\)
• Tracé des fonctions valeur absolue à l'aide de la définition par morceaux
• Continuité aux points de raccordement (intuition, préparation aux limites formelles)

Prérequis

Contenu

• Définition des logarithmes : \(y = \log_b(x) \iff b^y = x\)
• La base naturelle \(e\) et le logarithme naturel \(\ln(x)\)
• Lois des logarithmes : règles du produit, du quotient et de la puissance
• Formule de changement de base
• Résolution algébrique d'équations exponentielles et logarithmiques

Prérequis

Contenu

• Radians et degrés : conversions
• Le cercle trigonométrique : angles particuliers (\(\pi/6, \pi/4, \pi/3, \pi/2\)) et valeurs exactes
• Sinus, cosinus, tangente et leurs réciproques (csc, sec, cot)
• Évaluation à l'aide des angles de référence (règle ASTC)
• Identité pythagoricienne : \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)

Prérequis

Contenu

• Graphes de base de \(\sin x\), \(\cos x\), \(\tan x\)
• Amplitude, période \(\frac{2\pi}{|b|}\), déphasage et translation verticale
• Application des transformations : \(a\sin(b(x-c))+d\)
• Tracé des fonctions trigonométriques réciproques (csc, sec, cot) à partir des fonctions parentes
• Identification des asymptotes verticales pour tangente, cotangente, sécante, cosécante

Prérequis

Contenu

• Identités pythagoriciennes : \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) et formes dérivées
• Identités quotient et réciproque
• Formules de somme et de différence (aperçu)
• Formules de l'angle double (\(\sin(2\theta)\) et \(\cos(2\theta)\))
• Résolution d'équations trigonométriques linéaires et quadratiques sur \([0, 2\pi)\)
• Utilisation des techniques de factorisation d'ALG-3 sur des expressions trigonométriques (ex. \(2\sin^2\theta - \sin\theta - 1 = 0\))

Prérequis

Contenu

• Propriété du produit nul
• Résolution des équations du second degré par factorisation et formule quadratique
• Le discriminant \(b^2 - 4ac\) et la nature des racines
• Résolution des équations rationnelles par multiplication par le PPCD
• Identification et rejet des solutions parasites

Prérequis

Contenu

• Inéquations linéaires vs. non linéaires
• Construction de tableaux de signes pour inéquations polynomiales et rationnelles
• Valeurs critiques : zéros du numérateur et points d'indétermination du dénominateur
• Inéquations avec valeur absolue : \(|x| < a\) vs. \(|x| > a\)

Prérequis

Contenu

• Notation sigma : \(\sum_{i=1}^{n} a_i\) — indice, bornes, terme général
• Développement de la notation sigma et réécriture de sommes
• Propriétés des sommes finies : linéarité (\(\sum(a_i + b_i)\), \(\sum c \cdot a_i\)), décomposition de plages
• Formules standard : \(\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}\), \(\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
• Sommes télescopiques (aperçu)
• Lien avec le calcul : la notation sigma comme langage des sommes de Riemann et des séries

Prérequis

Contenu

• Le quotient différentiel \(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) — ce qu'il représente géométriquement (pente de la sécante, lien avec COM-2)
• Évaluer soigneusement \(f(x+h)\) pour différents types de fonctions
• Simplification pour les fonctions polynomiales : développer, soustraire, simplifier \(h\)
• Simplification pour les fonctions rationnelles (technique du dénominateur commun d'ALG-4)
• Simplification pour les fonctions radicales (rationalisation du numérateur à l'aide des conjugués d'ALG-2)
• Simplification pour les fonctions exponentielles : \(\frac{e^{x+h}-e^x}{h} = e^x \cdot \frac{e^h-1}{h}\)
• L'idée de la limite : « que se passe-t-il quand \(h \to 0\) ? » (aperçu intuitif)